Самосопряженные линейные преобразования

Оператор $\mathcal{A}: V \to V$ называется ***самосопряжённым***, если он равен своему сопряжённому оператору, то есть $\mathcal{A} = \mathcal{A}^*$. Самосопряжённый оператор нормален.

Самосопряжённый оператор $\mathcal{A}$ имеет вещественные собственные значения: $\lambda \in \mathbb{R}$.

Пусть $x$ — собственный вектор оператора $\mathcal{A}$ с $\lambda$: $\mathcal{A}x = \lambda x$. Тогда: $$ (\mathcal{A}x, x) = \lambda (x, x) $$ В силу самосопряжённости $\mathcal{A}$: $$ (\mathcal{A}x, x) = (x, \mathcal{A}x) = (x, \lambda x) = \overline{\lambda}(x, x) $$ Получаем: $$ \lambda (x, x) = \overline{\lambda}(x, x) $$ Так как $x \neq 0$, имеем $(x, x) \neq 0$, следовательно $\lambda = \overline{\lambda} \iff \lambda \in \mathbb{R}$. $\square$